Les lignes trigonométriques dans le cercle unité
Author: Pierre Lantagne

P(θ)

A(1,0)

θ

B(0, 1)

\setlength{\fboxsep}{8pt}\setlength\fboxrule{1pt}\ovalbox{\mbox{Lignes sinus et cosinus

$▶ \mbox{L'abscisse du point P(\theta) }\mbox{est noté cos}\left(θ\right) $
$▶ \mbox{L'ordonnée du point P(\theta) }  \mbox{est noté sin}\left(θ\right)$

θ

θ

Glisser le point du curseur  vers la droite
ou vers la gauche du curseur Angledegrés

$\mbox{Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré\:au point O(0,0) d'un plan cartésien. \L'équation cartésienne de ce cercle est \(x^2+y^2=1\).\
On appelle point A(1,0), le point origine du cercle trigonométrique.\
Si, à partir du point A, on se déplace sur le cercle trigonométrique, le point P décrit la fin du déplacement. \
Ce déplacement peut être réalisé dans le sens anti-horaire ou dans le sens horaire.\
Le parcours depuis le point A réalise donc un arc orienté \overset{\huge{\curvearrowright}}{AP} ainsi qu'un angle au centre orienté \widehat{AOP} \big((\overrightarrow{OA},\,\overrightarrow{OP})\big)\
La mesure de l'arc et de l'angle au centre est positive lorsque le déplacement est réalisé dens le sens anti-horaire.\
Dans le sens horaire, la mesure est négative.\

On note par \theta la mesure de l'arc \overset{\huge{\curvearrowright}}{AP} et aussi par \theta, la mesure de l'angle au centre \widehat{AOP}.\
La mesure de l'angle au centre est en degrés et celle de l'arc est en radians.\
C'est pourquoi on note le point P plutôt par P(\theta) puisque la position du point P dépend du parcours \theta.\

 

45°

0°

-90°

135°

90°

-45°

-135°

30°

60°

-30°

-60°

-120°

120°

150°

180°

-150°

-180°

sinus

cosinus

\(\mbox{P}(θ)=\big(\cos (θ),\sin (θ)\big)\)

a = -2 (slider from -5 to 5, step 0.1)
a_2: a^(2)
list1 = Sequence(abs((a_2 * i) - round((a_2 * i))) < 10^(-5), i, 1, 2500)
list2 = Sequence(If[Element[list1, i] ≟ true, i, 2500], i, 1, 2500)
d = If(Min[list2] < 2500, Min[list2], 2500)
list3 = Sequence(abs(d / i^(2) - round(d / i^(2))) < 10^(-5), i, 1, 50)
list4 = Sequence(If[Element[list3, i] ≟ true, i, 0], i, 1, 100)
d_e = If(Max[list4] > 0, Max[list4], 0)
d_a: d / d_e
Anglesdegrés: 0°
O = (0, 0)
P: (cos(Anglesdegrés), sin(Anglesdegrés))
Origine = (1, 0)
θ_p = Angle(Origine, O, P)
B' = (0, 1)
Q: (cos(Anglesdegrés), 0)
θ_n = Angle(P, O, Origine)
θ_1 = CircleArc(O, P, Origine)
θ = CircleArc(O, Origine, P)
α: -90°
β: -90°
γ: -90°
δ: -90°
ε: -90°
n_e: (d_a^(2) * a_2)
list5 = Sequence(abs(n_e / i^(2) - round(n_e / i^(2))) < 10^(-5), i, 1, 50)
list6 = Sequence(If[Element[list5, i] ≟ true, i, 0], i, 1, 100)
n_a = If(d ≟ 2500, 0, If[Max[list6] > 0, (Max[list6] * sgn(a)), 0])
r_a: n_e / n_a^(2)
b_1(x) = a
n_1(x) = n_a
r_1 = Polynomial(r_a)
g = If(n_a ≟ 0, b_1(x), If[r_a ≠ 1, If[d_a ≠ 1, If[abs(n_a) ≠ 1, (n_1(x) / d_a * sqrt(r_a)), If[n_a ≟ 1, sqrt(r_1(x)) / d_a, ((-sqrt(r_1(x)))) / d_a]], If[abs(n_a) ≠ 1, (n_1(x) * sqrt(r_a)), If[n_a ≟ 1, sqrt(r_1(x)), (-sqrt(r_1(x)))]]], If[d_a ≟ 1, n_1(x), n_1(x) / d_a]])
Rayon = Segment(O, P)
Q': (0, sin(Anglesdegrés))
Ordonnée = Segment(Q, P)
Sinus = Segment(O, Q')
Cosinus = Segment(O, Q)
Abscisse = Segment(Q', P)
b: π / 4
c: π / 4
VR: {(-π), (-5 * π / 6), (-3 * π / 4), (-2 * π / 3), ((-π)) / 2, ((-π)) / 3, ((-π)) / 4, ((-π)) / 6, 0, π / 6, π / 4, π / 3, π / 2, (2 / 3 * π), (3 / 4 * π), (5 / 6 * π)}
l1 = Sequence((cos(VR(k)), sin(VR(k))), k, 1, 17)
texte5: "$\mbox{sin(" + (LaTeX[Anglesdegrés]) + ")}=" + (LaTeX[racine50[sin(Anglesdegrés)]]) + "=\sin\!\Big(" + (LaTeX[(FractionText[Anglesdegrés / π] * π)]) + "\Big)"
texte6: "$\mbox{cos(" + (LaTeX[Anglesdegrés]) + ")}=" + (LaTeX[racine50[cos(Anglesdegrés)]]) + " =\cos\!\Big(" + (LaTeX[(FractionText[Anglesdegrés / π] * π)]) + "\Big)$"

Tool: fraction1000
Affichage fractionnaire sous la forme n/d, avec d<1000
Input: a
Output: text3

list1 = Sequence(abs((a * i) - round((a * i))) < 10^(-5), i, 1, 1000)
e = 3
n_1 = If(e < 1000, Polynomial[(e * a)], Polynomial[a])
f = If(e ≟ 1 ∨ e ≥ 1000, n_1(x), n_1(x) / e)
text3: "" + f

Tool: racine50
affichage exact sous la forme n*sqrt(50)/d, avec d<50 et n<=50
Input: a
Output: text17

b_1(x) = a
a_2: a^(2)
list1 = Sequence(abs((a_2 * i) - round((a_2 * i))) < 10^(-5), i, 1, 2500)
list2 = Sequence(If[Element[list1, i] ≟ true, i, 2500], i, 1, 2500)
d = If(Min[list2] < 2500, Min[list2], 2500)
list3 = Sequence(abs(d / i^(2) - round(d / i^(2))) < 10^(-5), i, 1, 50)
list4 = Sequence(If[Element[list3, i] ≟ true, i, 0], i, 1, 100)
d_e = If(Max[list4] > 0, Max[list4], 0)
d_a: d / d_e
n_e: (d_a^(2) * a_2)
list5 = Sequence(abs(n_e / i^(2) - round(n_e / i^(2))) < 10^(-5), i, 1, 50)
list6 = Sequence(If[Element[list5, i] ≟ true, i, 0], i, 1, 100)
n_a = If(d ≟ 2500, 0, If[Max[list6] > 0, (Max[list6] * sgn(a)), 0])
r_a: n_e / n_a^(2)
r_1 = Polynomial(r_a)
n_1(x) = n_a
g = If(n_a ≟ 0, b_1(x), If[r_a ≠ 1, If[d_a ≠ 1, If[abs(n_a) ≠ 1, (n_1(x) / d_a * sqrt(r_a)), If[n_a ≟ 1, sqrt(r_1(x)) / d_a, ((-sqrt(r_1(x)))) / d_a]], If[abs(n_a) ≠ 1, (n_1(x) * sqrt(r_a)), If[n_a ≟ 1, sqrt(r_1(x)), (-sqrt(r_1(x)))]]], If[d_a ≟ 1, n_1(x), n_1(x) / d_a]])
text17: "" + g